En apparence, le problème ressemble à un simple casse-tête de géométrie. Imaginons une aiguille que l’on souhaite orienter dans toutes les directions possibles à l’intérieur d’un même espace. Jusqu’où peut-on comprimer cet espace ? Peut-il devenir arbitrairement petit ? La question remonte à 1917, lorsque le mathématicien japonais Soichi Kakeya (1886-1947) s’interroge sur la plus petite surface permettant de retourner une aiguille dans un plan. Dix ans plus tard, le Russe Abram Besicovitch (1891-1970) crée la surprise en démontrant qu’il est possible de construire des ensembles d’aire nulle contenant une aiguille dans toutes les directions. Le problème semblait réglé. Pourtant, deux objets peuvent avoir une aire – ou un volume – nuls tout en occupant l’espace de manière très différente. Les mathématiciens introduisent alors une mesure plus fine, la dimension fractale, qui quantifie la façon dont un objet remplit l’espace. En dimension deux, cette dimension est connue depuis les années 1970. Restait à savoir si, en dimension trois, ces ensembles dits de Kakeya occupaient eux aussi pleinement l’espace, autrement dit si leur dimension fractale était bien égale à 3. Cette conjecture allait résister plus d’un demi-siècle aux meilleurs spécialistes.
« Personne n’est surpris que Hong Wang reçoive la médaille Fields », résume le mathématicien Guy David, spécialiste d’analyse à l’université Paris-Saclay. « Car derrière cet énoncé facile à comprendre se cache un problème qui a mobilisé plusieurs générations de chercheurs. Les tentatives allaient toutes dans les mêmes directions. Ce n’est pas qu’il fallait inventer quelque chose de complètement différent, mais aller beaucoup plus loin dans la compréhension des choses. » En 2025, Hong Wang et Joshua Zahl annoncent finalement la démonstration tant attendue. Leur résultat établit que tout ensemble de Kakeya en dimension trois possède bien une dimension fractale égale à 3, comme les mathématiciens le pressentaient depuis longtemps. « L’exploit dépasse largement la résolution d’une vieille énigme car les méthodes utilisées pour démontrer ce genre de choses peuvent être utiles dans bien d’autres problèmes », estime Guy David. Les techniques élaborées pour cette conjecture de Kakeya irriguent en effet toute une famille de questions portant sur la transformation de Fourier, la propagation des ondes, les équations aux dérivées partielles ou encore la géométrie fractale.
Pourquoi les « spaghettis » ne peuvent pas rester rangés L’idée de la démonstration est plus simple que les 127 pages de calculs qu’elle mobilise. Hong Wang et Joshua Zahl remplacent d’abord les segments idéaux de la conjecture de Kakeya par de très fins tubes pointant dans toutes les directions. La question devient alors : jusqu’où peut-on comprimer un immense faisceau de tubes sans qu’il remplisse réellement tout l’espace ? Les auteurs montrent que si ces tubes occupaient un espace de dimension inférieure à trois, ils seraient contraints de s’organiser de façon extrêmement rigide. À toutes les échelles, ils devraient se regrouper en faisceaux de plus en plus serrés, « comme des spaghettis soigneusement alignés », selon l’image proposée par Terence Tao sur le blog où il explique le principe de la démonstration. Cette propriété d’adhérence, ou stickiness en anglais, que Wang et Zahl avaient déjà établie dans un travail précédent, constitue le point de départ de leur raisonnement. Ils démontrent ensuite qu’une telle organisation est impossible. En observant ces regroupements à des échelles de plus en plus grandes, ils montrent que les faisceaux finissent par se comporter comme des objets presque convexes. Or un tel empilement ne peut pas rester confiné dans une petite région : il est obligé de se disperser et d’occuper davantage d’espace. La contradiction est inévitable. Les ensembles de Kakeya en dimension trois doivent donc remplir pleinement l’espace, au sens de leur dimension fractale.
Troisième femme à recevoir la médaille Fields
Cette démonstration s’inscrit également dans une longue histoire collective. Depuis une vingtaine d’années, une véritable école de l’analyse harmonique, autour notamment de Larry Guth, au Massachusetts Institute of Technology (MIT), et de Terence Tao, à l’université de Californie à Los Angeles (UCLA), a progressivement élaboré les outils nécessaires pour attaquer la conjecture. Considéré comme l’un des mathématiciens les plus brillants et prolifiques de sa génération, Terence Tao, médaille Fields 2006, a profondément façonné ce domaine par ses travaux. « Même si elle est issue de cette école d’analyse harmonique, elle a réussi à faire quelque chose que les autres ne savaient pas faire, y compris Tao. Ça veut quand même dire que ce n’est pas mal », sourit Guy David.
La médaille Fields récompense d’ailleurs bien davantage que cette seule percée. La citation officielle souligne l’ensemble de ses travaux en analyse harmonique et en théorie géométrique de la mesure : conjecture de lissage local des équations d’ondes, problèmes de restriction de Fourier, ensembles de Falconer, ensembles de Furstenberg et nouvelles méthodes multi-échelles, devenues aujourd’hui centrales dans le domaine.
Désormais professeure à l’Institut des hautes études scientifiques à Bures-sur-Yvette, où elle a pris ses fonctions en 2025 tout en conservant un poste de professeure au Courant Institute de la New York University, Hong Wang poursuit ses recherches sur plusieurs des problèmes les plus difficiles de l’analyse harmonique. À 37 ans, elle devient la troisième femme seulement à recevoir la médaille Fields, consacrant une mathématicienne dont les travaux redessinent déjà un pan entier des mathématiques contemporaines.
En savoir plus : Problème de Kakeya : ou comment déplacer une aiguille en prenant le moins de place
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Source:
www.sciencesetavenir.fr
